تابع متغير مختلط 1

فهرست مطالب

فصل 6    4
ويژگيهاي تحليلي نگاشت    4
۶.۱       جبر مختلط    7
هميوغ مختلط    11
تابعهاي متغيير مختلط    17
خلاصه    22
۶-۲   شرايط  کوشي _ريمان    23
توابع تحليلي    29
خلاصه    31
۶-۳      قضيه ي انتگرال کوشي    31
انتگرال هاي پربندي    31
اثبات قضيه ي انتگرال کوشي به کمک قضيه ي استوکس    34
نواحي همبند چند گانه    37
فرمول انتگرال کوشي    40
مشتقها    42
قضيه ي موره آ    44
خلاصه    47
۶-۵    بسط لوران    47
بسط تايلور    48
اصل انعکاس شوارتز    50
ادامه ي تحليلي    52
سري لورن    55
خلاصه    60
۶-۶  نگاشت    61
انتقال    62
چرخش    63
انعکاس    64
نقطه هاي شاخه و توابع چند مقدار    66
خلاصه    74
۶-۷            نگاشت همديس    74
خلاصه    76


ويژگيهاي تحليلي نگاشت
عددهاي موهومي پرواز شگفت انگيز روح خدايند.اين اعداد هويت دو گانه اي بين بودن ونبودن دارند.
                                                                             گاترفيد ويلهلم فون لايب نيتس۱۷۰۲ميلادي
نظريه ي تابع ها از يک متغيير مختلط شامل برخي از قوي ترين و مفيد ترين وپر کاربرد ترين ابزارهاي تحليل رياضي است.براي انکه دست کم تا هدودي اهمييت متغير هاي مختلف را نمايش دهيم چند مبهث از کاربرد هاي انها را به اختصار بر مي شمريم .
۱.در مورد بسياري از زوج تابع هايu v ,همuوهم vدر معادله ي لاپلاس در دو بعد واقعي صدق ميکنند .
                                                                                                 براي مثال يا vياu  را ميتوان براي توصيف پتانسيل الکتروستاتيکي دو بعدي به کار برد . آن گاه ميتوان از تابع ديگري براي توصيف ميدان الکتريکي  Eبهره گرفت  که يک دسته از منحني هاي عمود بر منحني هاي مربوط به تابع اوليه را ارائه مي کند  يک موقعيت مشابه براي هيدروديناميک از يک شاره ايده ال با حرکت غير چرخشي نيز وجود دارد تابع uبايد پتانسيل سرعت را توصيف کند در حالي که تابع  vتابع جريان خواهد بود.
درمواردبسياريکه تابع هاي  u,vمجهولند مي توانيم به ياري نگاشت يا تبديل در صفحه ي مختلط دستگاه مختصات مناسب با مسئله ي مورد نظر بسازيم .
٢.اعداد مختلط(در بخش ۱-۶) از زوج هاي اعداد حقيقي ساخته مي شوند بنابر اين حوزه ي اعداد حقيقي به طور طبيعي در حوزه ي اعداد مختلط جا سازي ميشوند. در اصطلاح هاي رياضي حوزه ي اعداد مختلط تعميمي از حوزه ي اعداد حقيقي است و بعداً در جهت هر چند جمله اي به ترتيب n (در حالت کلي )صفر مختلط کامل ميشود . اين واقعيت ابتدا به وسيله ي گاوس اثبات شد و قضيه اصلي جبر ناميده شد (بخش ۶-۴و۷-٢ را ببينيد )  به صورت يک نتيجه تابع هاي حقيقي سري حقيقي بي نهايت و انتگرال ها معمولا ميتوانند به طور طبيعي به اعداد مختلط ساده به وسيله ي نشاندن يک متغير حقيقي x براي مثال به جاي مختلط z تعميم داده شوند .            
 در فصل ۸خواهيم ديد که معادله هاي ديفرانسيل مر تبه ي دومي که در فيزيک مطرح مي شوند مي توان به کمک سري تواني حل کرد.
 اگر به جاي x متغير مختلط z را قرار دهيم همين سري تواني را ميتوان در صفحه ي مختلط نيز به کار برد. وابستگي جواب در نقطه ي معلوم 0 z ،به رفتار  در هر جاي ديگر ،نگرش گسترده تري درباره ي جواب به ما مي دهدو ابزاري قوي(ادامه تحليلي) براي گستردن ناحيه اي به شمار مي آيد که در آن جواب صادق است.
٣. با تغيير پارامتر   kازحقيقي به موهومي، ik → k معادله هلمهو لتر  به معادله ي پخش
تبديل مي شود.همين تغيير جوابهاي معادله ي  هلمهولتر(تا بع هاي بسل و بسل کروي )
 را به جواب ها ي معادله ي پخش (تابع هاي تعديل يافته ي بسل و تعديل يافته ي بسل کروي )تبديل مي کند .
۴.کاربرد انتگرالهادر صفحه مختلط در موارد  زير متنوع  و مفيد است.
( الف) محاسبه ي انتگرا لهاي معين (در بخش٧-۲) 
(ب)وارون  کردن  سريهاي  تواني
(ج) تشکيل حاصلضربهاي  نامتناهي. ازتوابع  تحليلي(در بخش٧-٢)
(د)دستيابي به جواب هاي معادله هاي ديفرانيسل به ازاي مقاديربز رگ متغير
(جواب هاي مجانبي)
(ه) بررسي پايداري دستگاه هاي بالقوه نو ساني.
(و)وارون کردن تبديل هاي انتگرالي .(درفصل ١٥)

در پايان بايد بدانيم که درهنگام تعميم يک نظريه يساده ي فيزيکي ،بسياري ازکميتهاي فيزيکي  که در اصل حقيقي بودند، به مختلط تبديل ميشوند . ضريب شکست نور که کميتي حقيقي است . با در نظر گرفتن  جذب ، به کميت مختلطي تبديل ميشود . انرﮊي مربوط به يک  تراز انرﮊي هسته اي که حقيقتي است، با در نظر گرفتن طول عمر  محدود تراز انرﮊي ، به صورت مختلط در ميآيد،.E=m±iΓ
مدارهاي الکتريکي با مقاومت  Rو ظرفيت خازن  Cو خود القاييL به ا مپدا نس(مقاومت مختلط) تبديل مي شود ( Cω/1-i (ω L+R=z.
ابتدا حساب مختلط را در بخش( ١-٦ )و سپس تابع هاي مختلط و مشتق انها را در بخش(٢-٦) معرفي مي کنيم .در ادامه بافرمول انتگرال بنيادي کوشي دربخش (٣-٦ )وادامه ي  تحليلي ،تکينه و بسط هاي لورن و تيلور تا بع ها دربخش (٥-٦ )ونگاشت همديس  و نقطه ي فرعي تکينه ها  و توابع چند ظرفييتي   در بخش( ٦-٦)و (٧-٦ )آشنا خواهيم شد .
۶.۱       جبر مختلط
به تجربه مي دانيم که با حل کردن معادله هاي درجه دوم  براي به دست آوردن صفر هاي حقيقي آ نها اغلب موفق نمي شويم حاصل جواب را به دست بياوريم  مثال زير به اين نکته اشاره دارد :
 مثال ١-١-٦       شکل درجه دوم  مثبت
براي همه ي مقادير حقيقيي xمثبت و معين است .
 
معادله ي بالا در حوزه اعداد حقيقيي y(x)=0جواب ندارد. البته اگر ما از علا مت   استفاده کنيم ميتوانيم جواب هاي y(x)=0رابه صورت     بنويسيم در زير درستي آن را بررسي مي کنيم:
  
اگر چه مي توانيم مجاسبا تي باi  با توجه  به قانون   انجام دهيم اما اين علا مت به ما نمي گويد که اعداد موهومي واقعي هستند.
براي تمايان ساختن صفر هاي مختلط  بايد اعداد حقيقي روي خط را در يک صفحه ي اعداد مختلط بزر گ کنيم . يک اعدد مختلط را به صورت يک نقطه با دومختصات در صفحه اقليدسي به صورت زوج مرتب از دو عدد حقيقيي(a,b)به صورتي که در (شکل۶-۱ )نشان داده شده است معين کنيم . شبيه آن،يک متغيرمختلط يک زوج مرتب ازدومتغير حقيقي است،
                                                                .                   (6.1)
تريب قرار گرفتن متغير ها مهم است .  xقسمت حقيقي z ,  y قسمت موهومي zناميده ميشود . در حالت کلي ، ( a,b) با (b,a) مساوي نيست و همچنين (,y x) با ((y,xمساوي نيست .به طور معلوم نوشتن يک عدد حقيقي (  ( x ,o  را به سادگي بصورتxادامه مي دهيم و (o,l) = iرا واحد موهومي مي شويم محور xمحورحقيقي است و محور yمحور موهومي صفحه عدد مختلط است. توجه کنيد که درمهندسي الکتيريکي قرار دارد   است وiازپيش برا ي نشان دادن شدت جريان الکتيريکي حفظ شده است. عدد هاي مختلط  باتوجه به مثال۶-۱-۱  نقطه هاي   هستند .